車與羊的選擇

影片開頭部份提到了一個很有名的問題：假設你正在參加一個遊戲節目，你被要求在三扇門中選擇一扇。其中一扇後面有一輛車，其餘兩扇後面則是羊。你選擇了一扇門，假設是1號門，然後知道門後面有什麼的主持人開啟了另一扇後面有羊的門，假設是3號門。然後他問你：「你想選擇2號門嗎？」你會如何回答？
顯然應該選最有可能贏得車的做法。實際上，這是一個用機率論可以輕鬆搞定的問題，但是，歷史上這個問題剛被提出的時候卻引起了相當大的爭議。這個問題源自美國電視娛樂節目Let’s Make a Deal，內容如前所述。作為金氏世界紀錄中智商最高的人，Savant在Parade Magazine對這一問題的解答是應該換，因為換了之後有2/3的機率贏得車，不換的話機率只有1/3。她的這一解答引來了大量讀者信件，認為這個答案太荒唐了。因為直覺告訴人們：如果被打開的門後什麼都沒有，這個資訊會改變剩餘的兩種選擇的機率，哪一種都只能是1/2。持有這種觀點的大約有十分之一是來自數學或科學研究機構，有的人甚至有博士學位。還有大批報紙專欄作家也加入了聲討Savant的行列。在這種情況下，Savant向全國的讀者求救，有數萬名學生進行了模擬試驗。一個星期後，實驗結果從全國各地飛來，是2/3和1/3。隨後，MIT的數學家和阿拉莫斯國家實驗室的程式設計師都宣佈，他們用電腦進行模擬實驗的結果，支持了Savant的答案。
當然，原問題的描述確實有一些含混不清的成份，如果加上下述條件可以使這個答案更準確：
1、參賽者在三扇門中挑選一扇。他並不知道內裡有什麼。
2、主持人知道每扇門後面有什麼。
3、主持人必須開啟剩下的其中一扇門，並且必須提供換門的機會。
4、主持人永遠都會挑一扇有羊的門。
5、如果參賽者挑了一扇有羊的門，主持人必須挑另一扇有羊的門。
6、如果參賽者挑了一扇有車的門，主持人隨機在另外兩扇門中挑一扇有羊的門。
7、參賽者會被問是否保持他的原來選擇，還是轉而選擇剩下的那一道門。
這樣，問題的答案是：可以。當參賽者轉向另一扇門而不是繼續維持原先的選擇時，贏得汽車的機會將會加倍。因為：
有三種可能的情況，全部都有相等的可能性(1/3)
參賽者挑一號羊，主持人挑二號羊。轉換將贏得車。
參賽者挑二號羊，主持人挑一號羊。轉換將贏得車。
參賽者挑汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭。轉換將失敗。
可以看出，這是一個機率論和人的直覺不太符合的例子，這告訴我們在做基於量化的判斷的時候，要以事實和數據為依據，而不要憑主觀來決定。否則，想當然的結果往往會在我們不自知的情況下，把我們引入歧途。如片中的老師所說：在校園裡騎車可比騎頭羊要酷多了。問題是你要做出正確的選擇，而這需要以事實為依據。

【注】前文提到的這個問題的歷史參考自http://tieba.baidu.com/f?kz=114972828