開頭車羊問題的數學解釋

相信很多人沒有看完電影，就開始思考本片開頭提到的那個機率問題。的確，賭博其實就是一次次機率試驗，尤其是比大小點這類相對需要更少技巧的項目。

片中涉及的那個車和羊的問題也被稱作蒙提霍爾問題（Monty Hall Problem）或三門問題，是一個源自博弈論的數學遊戲問題，大致出自美國的電視遊戲節目「Let's Make a Deal」。問題的名字來自該節目的主持人蒙提·霍爾（Monty Hall）。

這個遊戲的玩法是：參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選中後面有車的那扇門就可以贏得該汽車，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人會開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。

明確的限制條件如下：
參賽者在三扇門中挑選一扇。他並不知道內裡有什麼。
主持人知道每扇門後面有什麼。
主持人必須開啟剩下的其中一扇門，並且必須提供換門的機會。
主持人永遠都會挑一扇有山羊的門。
如果參賽者挑了一扇有山羊的門，主持人必須挑另一扇有山羊的門。
如果參賽者挑了一扇有汽車的門，主持人隨機在另外兩扇門中挑一扇有山羊的門。
參賽者會被問是否保持他的原來選擇，還是轉而選擇剩下的那一道門。

百度給出的問題的答案是可以：當參賽者轉向另一扇門而不是繼續維持原先的選擇時，贏得汽車的機會將會加倍。

解釋如下：
有三種可能的情況，全部都有相等的可能性(1/3)︰

參賽者挑山羊一號，主持人挑山羊二號。轉換將贏得汽車。
參賽者挑山羊二號，主持人挑山羊一號。轉換將贏得汽車。
參賽者挑汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭。轉換將失敗。
在頭兩種情況，參賽者可以通過轉換選擇而贏得汽車。第三種情況是唯一一種參賽者通過保持原來選擇而贏的情況。因為三種情況中有兩種是通過轉換選擇而贏的，所以通過轉換選擇而贏的機率是2/3。

如果沒有最初選擇，或者如果主持人隨便打開一扇門，又或者如果主持人只會在參賽者作出某些選擇時才會問是否轉換選擇的話，問題都將會變得不一樣。例如，如果主持人先從兩隻山羊中剔除其中一隻，然後才叫參賽者作出選擇的話，選中的機會將會是1/2。

另一種解答是假設你永遠都會轉換選擇，這時贏的唯一可能性就是選一扇沒有車的門，因為主持人其後必定會開啟另外一扇有山羊的門，消除了轉換選擇後選到另外一隻羊的可能性。因為門的總數是三扇，有山羊的門的總數是兩扇，所以轉換選擇而贏得汽車的機率是2/3，與初次選擇時選中有山羊的門的機率一樣。
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用機率論計算如下：
因為那一輛汽車在三個門後面的機率相等，所以可以算作古典機率。
假設A1代表車在1號門後面
    A2代表車在2號門後面
    A3代表車在3號門後面
    B1代表不交換選擇到車
　　B2代表交換後選擇到車
則通過題干可得
　　P(A1)=1/3 P(A2)=1/3 P(A3)=1/3
當主持人打開一扇有羊的門時，剩下兩面門後面有車的紀律均等
    P(B1)=1/2 P(B2)=1/2
由全機率公式
P(B1)=P(B1|A1)P(A1)+P(B1|A2)P(A2)+P(B1|A3)P(A3)=1/2
P(B2)=P(B2|A1)P(A1)+P(B2|A2)P(A2)+P(B2|A3)P(A3)=1/2
故無論是否轉向另一扇門，最後的機率都是50% (兩扇門，一扇後面是羊，一扇後面是車，隨機選擇)
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那麼百度上的解釋有什麼問題呢？

參賽者挑山羊一號，主持人挑山羊二號。轉換將贏得汽車。
參賽者挑山羊二號，主持人挑山羊一號。轉換將贏得汽車。
參賽者挑汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭。轉換將失敗。
在頭兩種情況，參賽者可以通過轉換選擇而贏得汽車。第三種情況是唯一一種參賽者通過保持原來選擇而贏的情況。因為三種情況中有兩種是通過轉換選擇而贏的，所以通過轉換選擇而贏的機率是2/3。

問題在於第三種情況下，主持人分別選擇兩頭羊中的任何一頭，其實是２種情況。所以整體算來一共是四種情況

參賽者挑山羊一號，主持人挑山羊二號。轉換將贏得汽車。
參賽者挑山羊二號，主持人挑山羊一號。轉換將贏得汽車。
參賽者挑汽車，主持人挑山羊一號。轉換將失敗。
參賽者挑汽車，主持人挑山羊二號。轉換將失敗。

這樣，最終是否轉換的結果就是一樣的。

回到問題本身，我們使用了機率論中的古典概型。
它的特點如下：
１．試驗的樣本空間只包含有限個元素
２．試驗中每個基本事件發生的可能性相同

而百度的算法中，各基本元素發生的可能性是不同的。這就是錯誤的來源。